В общем случае, для любой функции, если каждую пару соответствующих значений независимой переменной и функции использовать как координаты точки, то фигура, образованная этими точками на координатной плоскости, будет графиком этой функции (graph). Используя аналитический метод, метод таблицы и метод графиков, мы можем преобразовать холодные алгебраические отношения в наглядные геометрические траектории, преодолевая границу между числами и формами.
Метод построения точек: «три шага» построения графика функции
Чтобы преобразовать абстрактное выражение (например, $y = x + 0.5$ или $y = x^2$) в геометрический график, мы обычно придерживаемся строгих трёх этапов метода построения точек:
В таблице указываются некоторые значения независимой переменной $x$, а затем вычисляются соответствующие значения функции $y$. Это подобно сбору данных о конкретных временных метках появления леопарда и его расстояния от лагеря на снегу.
В прямоугольной системе координат с помощью значений независимой переменной как абсцисс и соответствующих значений функции как ординат наносятся точки, соответствующие значениям из таблицы. Каждая точка является «отпечатком» в координатной плоскости.
Точки, построенные на предыдущем шаге, соединяются в порядке возрастания абсцисс с помощьюплавной кривой (или прямой)соединённой линии, что в конечном итоге показывает полную динамическую траекторию взаимного влияния переменных.
Как читать «электрокардиограмму» функции?
После построения графика его поведение часто раскрывает глубокое физическое или реальное значение взаимосвязи переменных:
- Тренд графика и монотонность: Если кривая от левой части к правой стороне имеетвосходящийхарактер, например, прямая $y = x + 0.5$), это эквивалентно увеличению $y$ при росте $x$; в противоположном случае, если кривая от левой части к правой стороне имеетнисходящийхарактер (например, гипербола $y = \frac{6}{x}$), это означает, что $y$ уменьшается при увеличении $x$.
- Экстремумы и участки стабильности: Наибольшая точка кривой $(a, b)$ означает, что при $x=a$ значение $y$ достигает максимума (например, максимальная температура в Пекине в течение дня весной); если это наименьшая точка, то она соответствует минимуму. Если на графике появляетсягоризонтальный отрезокэто означает, что с течением времени $x$ зависимая переменная $y$ остаётся неизменной (например, расстояние велосипедиста от дома перестаёт увеличиваться, что означает, что он находится в состоянии «отдыха»).